Geometría elemental con ecuaciones

La geometría elemental es la geometría de las figuras sencillas del plano y del espacio: rectas y planos, cónicas y algunas cuádricas no degeneradas. Su tratamiento analítico con ecuaciones sirve para trasformar los problemas de naturaleza y descripción geométrica en otros de planteamiento algebraico, que puedan ser tratados con las herramientas del álgebra. Este enfoque de los problemas de la geometría es posible desde que Descartes introdujo el concepto de coordenadas, y aunque hoy nos parece un método conveniente y muy útil, no fue así en un principio. Los historiadores de las Matemáticas siempre nos recuerdan los duros enfrentamientos entre los partidarios del tratamiento sintético sin ecuaciones, conceptual y ajeno al cálculo explícito de nada, y los partidarios de reducir todo a tales cálculos. Por supuesto, hoy sabemos que los unos no pueden vivir sin los otros: en muchos casos un argumento geométrico sagaz evita marasmos de cálculos enrevesados, pero también muchas veces unas ecuaciones bien elegidas resuelven inmediatamente una configuración geométrica difícil siquiera de representar gráficamente. Al final, siempre ocurre que la buena comprensión se alcanza recurriendo a la vez a ambos métodos, el sintético y el analítico. Tampoco está de más recordar que si muchos son los problemas que uno, otro o ambos métodos conjuntamente resuelven, ¡son muchos más los que siguen pendientes de solución! Este texto está dedicado al enfoque analítico de la geometría elemental del plano y del espacio, que intentamos presentar utilizando el significado geométrico de los objetos. El libro insiste en la distinción natural entre las nociones vectoriales, las afines y las euclídeas. Las nociones vectoriales son las propias de un espacio ideal organizado alrededor de un elemento singular, el cero. Las nociones afines son las propias del espacio real, en el que no hay ningún punto cero, y por tanto ningún punto distinguido que condicione la representación del espacio. En este espacio real podemos distinguir algunas propiedades geométricas, como el paralelismo, pero poco más: no podemos siquiera reconocer la perpendicularidad. Para poder hacer eso debemos medir, que es lo propio de las nociones euclídeas, que involucran distancias y ángulos. Esto dicho, describamos con más detalle la materia que se abarcamos: I. Primer capítulo.— Aquí se expone del modo más directo posible el cálculo vectorial en el que se basa la geometría analítica: combinaciones lineales, bases y coordenadas, productos escalar, vectorial y mixto. En especial, se utilizan estas nociones para calcular módulos de vectores, áreas de polígonos y volúmenes de poliedros. Este primer capítulo debe ser sencillo para el lector, por ser su contenido ya familiar. II. Segundo capítulo.— En él se describen mediante ecuaciones las figuras lineales (rectas y planos), y se utilizan esas ecuaciones para la construcción de figuras adicionales, para el cálculo de distancias y para la determinación de algunos lugares geométricos importantes (condiciones de equidistancia principalmente). Como el anterior, este capítulo debe ser perfectamente asequible. III. Tercer capítulo.— Está dedicado a un estudio elemental de la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, expresando analíticamente las construcciones clásicas de todas ellas en el plano. Además se explica por qué todas estas curvas se llaman secciones cónicas. Este capítulo tiene una dificultad algo mayor que los anteriores, pero solo por algunas construcciones que complementan su contenido principal. IV. Cuarto capítulo.— Trata de las trasformaciones afines del plano y del espacio, y de las trasformaciones que conservan ángulos y/o distancias. Se estudian con detenimiento las más sencillas, especialmente en el caso del plano: traslaciones, homotecias, simetrías, giros. Este capítulo va más allá que los anteriores, pero sirve de enlace con cuestiones difíciles e ilustra cómo abordarlas sin más medios que los expuestos anteriormente. Requiere pues un esfuerzo adicional por parte del lector. En cuanto a la exposición, se ha querido ser ante todo sencillo y, ya que este es un libro de geometría, utilizar a veces dibujos como mejor manera de justificar algunos resultados. Por otra parte, no se ha pretendido probar rigurosamente cada afirmación del texto, bien por no corresponder a esta materia, bien por considerarse sobradamente conocidas. Nuestro objetivo prioritario es recordar lo que ya se sabe, tal vez presentado de manera diferente para insistir en su manejo. Para esto se incluyen muchos ejemplos resueltos, y se proponen hasta cien ejercicios de dificultad variable, a veces con indicaciones para su resolución. Escapa algo a esta pretensión de sencillez el último capítulo, que debe considerarse como un laboratorio para experimentar con lo visto en los capítulos anteriores. Cada uno de los cuatro capítulos del libro está dividido en cinco secciones, y éstas en un número variable de epígrafes, que constan de uno o varios párrafos. Todos estos elementos están numerados de la manera más exhaustiva posible para facilitar las referencias internas. Por ejemplo, la referencia “III.2.3.n”, significa “capítulo III, sección 2, epígrafe 3, párrafo n”, siendo este último dato n un identificador variable (no siempre presente) que se pueda reconocer sin ambigüedad en el epígrafe en cuestión. * * * Este libro está especialmente escrito para los alumnos que inician sus estudios universitarios, con los que deberán adquirir el conocimiento que les permita luego realizar una tarea profesional de nivel superior. Es muy importante comprender bien lo que significa conocimiento, un término confundido con información demasiado a menudo. Estar enterado no es saber, como lo superficial no es profundo, ni lo rápido es duradero. Por eso la adquisición de conocimiento requiere esfuerzo y sacrificio individual sostenidos. Y donde mejor se vuelcan esfuerzo y sacrificio es en el estudio de los buenos libros. Los libros son insustituibles. Ójala este cumpla adecuadamente su propósito.